ÉTABLISSEMENT DU COURANT DANS UNE BOBINE et f.é.m. d'induction
II Acquisition et variables transférées
III Établissement du courant
IV Modélisation de i(t). Propriétés de la courbe exponentielle
V Approche originale: définition de l'inductance
VI Bilan énergétique: calculs et visualisation
VII "Graphe des paramètres"
I Objectifs possibles de ce TP
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II Acquisition et variables transférées
Toutes les études faites dans ce chapitre ont trait à des acquisitions à la fermeture du circuit, mais elles seront aisément transposables à l'ouverture du circuit.
A. Montage d'étude
Bien que plusieurs variantes de ce montage soient possibles a priori, on peut remarquer que:
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 | Une diode (dite de "roue libre") pourrait être éventuellement utilisée à la place de R' (cathode en A, et anode en M) pour permettre la circulation de l'extra-courant de rupture, mais elle présente l'inconvénient de compliquer les calculs en imposant sa tension de seuil (0.7 V environ) entre les points A et M lorsqu'elle est passante (uniquement lors de l'ouverture du circuit). |
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| L'interrupteur inverseur de la platine de raccordement Micrelec est couplé avec un déclencheur qui envoie un signal "front" sur une entrée front d'ORPHY, de façon à déclencher l'acquisition (si du moins on a fait ce choix de déclenchement au niveau du logiciel d'acquisition) à l'instant du basculement de l'interrupteur; une autre solution serait une synchro par seuil (de quelques mV) si le logiciel d'acquisition le permet. |
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| IMPORTANT : Sur ORPHY GTS2, la prise D n’est plus disponible. Il suffit simplement de brancher la prise DIN mâle (avec la bague D) sur la prise B d’ORPHY GTS2. Dans ce cas les mesures se feront sur EA4 et EA5 au lieu de EA2 et EA3 |
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Sur ORPHY GTI2, les prises DIN 6 broches repérées A à F n'existent plus: il suffit alors de brancher l'adaptateur DIN pour GTI2 réf M12G504 pour disposer de ces prises sur lesquelles se branche le module Transel. |
| La f.é.m. du générateur doit être choisie de façon à ne pas dépasser le calibre maximum des entrées analogiques utilisées: ± 2.5 V avec GTS en "Réf Alt", et ± 10 V avec GTI et GTS 2 |
Abscisse: |
Voies actives: |
Enregistrement: |
Déclenchement (synchro): |
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Temps t |
EAx: |
Variable: |
Signe: |
Cal: |
Unité: |
Nombre points: |
Durée: |
Front sur EF0 |
EA0 |
uR |
± |
2.5 |
V |
100 |
120 ms |
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EA3 |
uAM |
± |
2.5 |
V |
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* avec ORPHY-PORTABLE 2, brancher:
deux capsules ±2 V, et capsule Synchro.Charger l'acquisition pré réglée:
| * avec ORPHY-GTS2 | * avec ORPHY-GTI2 |
| USB ou PORTABLE 2 | |
C. Variables transférées
Ä t, uAM et uR;
Dans la fenêtre 'Graphiques' (menu Fenêtre/graphe Variables),
clic-droit pour choisir 'Coordonnées' dans le menu contextuel, ou clic-gauche sur
l'icône correspondant 
. Avec:
| t en abscisses |
| uAM AM en ordonnées (à gauche) |
| uR R = R*i en ordonnées (à gauche aussi puisque dans la même unité que uAM ) |
III Établissement du courant
A. Calcul de l'intensité i(t)
| Dans le cas de l'acquisition sur deux voies définie ci-dessus, l'intensité se déduit par la loi d'Ohm. Revenir dans la fenêtre 'Grandeurs', onglet 'Expressions', et saisir directement dans une nouvelle ligne (touche 'Entrée pour revenir à la ligne, comme dans un traitement de texte)) de ce 'mémo': |
i= uR/R
pour créer la nouvelle grandeur i, et valider par la touche 'F2' (ou double frappe de la touche 'Entrée') ou en cliquant-G sur l'icône clignotante
; le résultat apparaît alors dans l'onglet 'Variables'.
| Dans la fenêtre 'Graphiques' (menu Fenêtre/graphe Variables), clic-D pour
choisir 'Coordonnées' dans le menu contextuel, ou clic-G sur l'icône
correspondante , pour
modifier les ordonnées choisies précédemment: ** uAM à gauche (ne change pas) pour la 1 ère ordonnée ** i à droite (puisque dans une unité différente de uAM , ce qui implique un autre axe avec une autre échelle) |
| Remarquer le retard à l'établissement du courant. |
B. Retard à l'établissement du courant et f.c.é.m. d'auto-induction
1. Calcul de la f.c.é.m. e qui tend à s'opposer à l'établissement du courant
| Recherche de la formule théorique donnant e: |
 | La tension aux bornes de la bobine se déduit des grandeurs acquises, par
la loi des mailles: ubob = uAM AM - uR R = uAM AM - R*i |
| La grandeur e se déduit par la loi d'Ohm généralisée aux bobines: ubob = r*i – e |
| Saisie dans Regressi: revenir dans la fenêtre 'Grandeurs', onglet 'Expressions', et saisir directement dans une nouvelle ligne de ce 'mémo': i=uR/R |
| pour créer la nouvelle grandeur i, et valider par la touche 'F2'
ou en cliquant-G sur l'icône clignotante ; le résultat apparaît alors dans l'onglet 'Variables'. |
2. Visualisation de e(t)
| Dans la fenêtre 'Graphiques' choisir comme coordonnées:
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| i à droite (puisque dans une unité différente de uAM , ce qui implique un autre axe avec une autre échelle) |
| e à gauche |
| Observer les trois courbes en concordance et commenter (ex: intensité nulle et f.c.é.m. maxima –en valeur absolue- au début; intensité max et f.c.é.m. nulle à la fin). Comparer en particulier e(t) avec la pente de la courbe i(t) à chaque instant; la comparaison peut être effectuée de façon sommaire à se stade: elle sera faite de façon plus "mathématique" au paragraphe V "Approche originale…". |
C. Comparaison entre inductances différentes
Le but est ici de montrer que la valeur de l'inductance dépend du nombre de spires, du type de noyau (air, fer doux, noyau plus ou moins sorti de la bobine, etc.)1. Acquisitions successives
| Pour bien montrer quelle caractéristique de la bobine (son inductance et non pas sa résistance) retarde l'établissement du courant, on peut avantageusement faire une acquisition en remplaçant la bobine par un résistor de même résistance: on voit ainsi que le courant s'établit instantanément. Lors du transfert du logiciel d'acquisition vers regressi, bien demander un transfert vers une nouvelle page du même fichier, cela pour permettre les comparaisons. |
| Faire quelques acquisitions avec la bobine, pour différentes positions du noyau (y compris noyau retiré complètement). Si la bobine comporte une prise médiane, modifier le nombre de spires en conservant la position du noyau. Garder une trace des paramètres utilisés en saisissant un commentaire ou une valeur dans la boîte de dialogue du transfert. |
| Choisir d'abord (Fen. Graphiques
/ Coordonnées ) une seule
ordonnée de façon à revenir à une seule représentation à l'écran: i(t) par
exemple. Toujours dans la Fenêtre 'Graphiques', cliquer-D et choisir dans 'Coordonnées'
ou 'Options': 'Superposition des pages(1)'. On peut
ainsi comparer l'aspect des différentes courbes entre elles, et discuter qualitativement
l'incidence de la valeur de l'inductance et du nombre de spires.
|
| Une légende distinguant chaque courbe est ajoutée
automatiquement avec l'icône |
IV Modélisation de i(t). Propriétés de la courbe exponentielle
A. Modélisation dans une page d'acquisition
| Dans la fenêtre 'Graphiques', clic-D pour choisir 'Modélisation' dans
le menu contextuel, ou clic-G sur l'icône correspondante  , ou raccourci clavier "F9": un volet
supplémentaire s'ouvre alors dans la partie gauche de la fenêtre graphique. Saisir(2) dans la zone "Expression du modèle"
le type de fonction choisi sous la forme (ici fonction exponentielle): |
i(t)=Imax*(1-exp(-t/tau))
ce qui revient à demander au logiciel de chercher pour quelles valeurs de Imax et tau la courbe exponentielle théorique collera aux points expérimentaux au plus près (remarque: le caractère grec t peut être obtenu en enfonçant la touche Ctrl en même temps que la touche qui donne la lettre "t" = lettre latine associée).
NB: On peut utiliser en place de saisie manuelle des
modèles prédéfinis (accès par clic-G sur l'icône(3)
correspondante 
).
| Demander au logiciel d'ajuster (clic-G sur le bouton
"ajuster"  ) le modèle
à la courbe expérimentale en calculant la valeur des paramètres figurant dans
l'équation du modèle. Dans le cas d'un modèle exponentiel, il faut souvent 'aider' le
programme: il suffit alors d'indiquer dans les cases où sont affichées les valeurs des
paramètres une valeur très approximative, au moins pour la constante de temps tau,
et demander à nouveau l'ajustage automatique |
| L'ajustage peut aussi être réalisé manuellement: après avoir placé
le curseur dans une des cases où figure une valeur de paramètre, il suffit de la faire
varier (NB: changement de signe possible uniquement par clic sur le bouton  ) en cliquant sur une des flèches    
d'ajustage: le tracé du modèle sur le graphique n'est actualisé au fur et à mesure que
si le bouton 'Tracé auto ' est
enfoncé |
| Constater dans l'onglet "Paramètres" de la fenêtre "Grandeurs" que les résultats de la modélisation y apparaissent aussi sous forme de deux nouvelles colonnes qui y ont été créées pour Imax et tau |
| Comparer la valeur de Imax trouvée par la modélisation à la valeur de l'intensité en régime permanent donnée par la loi d'Ohm: |
Im = E / (R+r)
| Constante de temps tau: Sachant que l'on a ici: Tau = L / (R+r), on peut utiliser le résultat de la modélisation pour tau soit pour calculer une des résistances soit pour déduire la valeur de L et la comparer à celle qui est marquée par le fabricant |
| A ce stade, on peut éventuellement mettre fin à la modélisation: dans la
fenêtre 'Graphiques', clic-D pour choisir 'Fin modélisation' dans le menu contextuel, ou
clic-G sur l'icône correspondante ,
ou raccourci clavier "F9". |
| Passer à la page suivante en cliquant sur la flèche de
changement de page située dans la barre d'icônes principale (en haut de la fenêtre
logicielle), ou bien utiliser le menu "Page/Suivante", ou encore le raccourci
clavier F8; ré activer le mode "Modélisation" dans le cas où il avait été
quitté |
| L'équation du modèle se trouvant déjà dans la fenêtre de modélisation, il
suffit de cliquer sur le bouton "Ajuster" pour faire apparaître la nouvelle valeur des paramètres dans la page
courante; simultanément, le programme complète la liste dans l'onglet
"Paramètres" de la fenêtre "Grandeurs", à la ligne de la page
courante |
| En fonction des résultats, on peut décider de lancer une nouvelle acquisition,
ce qui peut s'effectuer soit en basculant préalablement vers le programme d'acquisition
(clic sur l'icône  ), soit de
l'intérieur de Regressi en "tâche de fond" en cliquant sur l'icône(4)  (le logiciel d'acquisition attend alors le signal de synchronisation –
déclenchement – pour démarrer l'acquisition et transférer aussitôt ses données
vers Regressi qui sera resté au premier plan pendant ce temps-là!). |
C. Propriétés de la courbe exponentielle
1. Tracé de l'asymptote et de la tangente à l'origine
En restant dans la Fenêtre de modélisation, saisir(5) à la suite de l'équation du modèle sur deux nouvelles lignes:
i(t):=Imax pour obtenir le tracé de l'asymptote.
i(t):=Imax*t/tau pour obtenir la tangente à l'origine
(le signe ":" indique au programme qu'il doit
tracer ces fonctions avec les valeurs trouvées lors de la modélisation).
Valider de la même façon que lors de la modélisation.
2. Exploitation
| Observer avec le curseur "Réticule" que la tangente à l'origine coupe l'asymptote au point d'abscisse tau | ||||||||
| Observer avec le curseur "Données" (dans la boîte de dialogue
correspondante, choisir un seul curseur, et décocher 'pente' et 'écart') que:
|
| Les points correspondants du graphique peuvent être mis en évidence par le curseur 'Modélisation' lorsqu'une modélisation a été effectuée préalablement: il suffit alors de rentrer une valeur d'ordonnée pour uc dans la boîte "Valeur du modèle" qui s'ouvre, et de la valider (touche "Entrée"), pour que la valeur correspondante de l'abscisse apparaisse dans le même tableau et que les lignes de rappel correspondant à ces coordonnées s'affichent sur le graphique (une nouvelle validation efface les lignes de rappel) |
| Même sans modélisation préalable, ces lignes de rappel peuvent être tracées automatiquement par le programme en demandant le curseur "Réticule": positionner précisément le réticule à l'aide du pointeur, et la frappe de la barre d'espace ou de la touche "Entrée" marque le graphique à l'emplacement du réticule |
| Ces points peuvent aussi être utilement marqués d'une flèche et d'un commentaire avec le Curseur 'Texte'; ces informations textuelles seront sauvées avec le fichier. |
V Approche originale: définition de l'inductance
Dans l'esprit des nouveaux programmes de Terminale S par exemple, on
peut définir la notion d'inductance sans modélisation de i(t), directement après
l'acquisition: il suffit d'étudier pour cela la relation: 
, et de s'en servir pour calculer la valeur de l'inductance.
A. Calcul de la dérivée de i(t)
| Ouvrir l'onglet 'Expressions' de la fenêtre 'Grandeurs' et saisir directement dans une nouvelle ligne (touche "Entrée" pour le saut de ligne comme dans un traitement de texte): |
ce qui demande de créer une nouvelle variable nommée 'deriv'(7) et représentant la dérivée de i par rapport à t. On peut ajouter dans une autre ligne la signification de cette variable en la faisant précéder du signe ' qui lui donne la signification d'un simple commentaire:
'deriv: dérivée de i(t)
| Valider par la touche F2 ou en cliquant sur
l'icône
|
On obtient ainsi la représentation de .
B. Étude de la relation
1. Notion d'auto-inductance à partir de la page courante
|
Dans chaque page, on observe une droite passant
par l'origine: la relation entre |
et 
est donc
linéaire, du type e = k*(di/dt), le coefficient directeur k étant négatif: soit
(–L) ce coefficient, avec L>0. Une pente plus raide indiquant une tendance plus
grande de la bobine à produire une f.c.é.m. élevée pour une même valeur de (di/dt),
on voit que L représente le coefficient de self-induction (ou d'auto-induction) de la
bobine.
2. Calcul de cette auto-inductance L
| Elle se fait par modélisation des courbes obtenues précédemment: demander
l'ouverture du volet de modélisation (F9 ou ), saisir dans la zone "Expressions" l'équation du modèle: e=-L*derivet cliquer sur le bouton d'ajustement : la valeur correspondante de L apparaît simultanément sous la zone de
saisie, et dans l'onglet "paramètres" de la fenêtre "Grandeurs" | ||
| Dans le cas où la courbe à modéliser comporte un ou plusieurs points aberrants
(c'est par exemple le cas dans le graphique ci-dessus pour le point à l'extrémité
inférieure pour la bobine sans noyau: ce point provient en fait de la méthode du calcul
de la dérivée aux extrémités de l'intervalle), deux solutions s'offrent:
|
| soit restreindre l'intervalle de modélisation en précisant ses nouvelles
bornes: cliquer sur l'icône  ,
choisir la ligne du modèle étudié dans la liste déroulante qui s'ouvre, et délimiter
la zone à modéliser par cliquer-glisser du pointeur (elle apparaît au fur et à mesure
en grisé); deux croix matérialisant la zone retenue, les déplacer éventuellement par
cliquer-glisser; puis cliquer à nouveau sur le bouton 'ajuster' pour mettre à jour les valeurs des
paramètres du modèle. |
3. Comparaison entre les différentes pages
Superposer les pages pour faciliter la comparaison
(icônes ou 
), en choisissant éventuellement les pages à superposer
( 
), compléter le graphique par
l'identification des pages (icône 
)
au moyen de leur commentaire et (ou) de la valeur du paramètre L. On voit ainsi
que l'auto-inductance augmente avec le nombre de spires et la présence plus ou moins
importante de fer à l'intérieur de la bobine.
VI Bilan énergétique: calculs et visualisation
On peut par exemple vérifier que la portion de l'énergie We dépensée (par le générateur) pour établir le courant dans la partie inductive de la bobine (dans le modèle équivalent série d'une bobine) est égale à chaque instant à l'énergie magnétique Wm stockée dans celle-ci (sans inclure dans ce calcul la partie de l'énergie fournie par le générateur et qui sert seulement à compenser les pertes 'Joule' dans R et r).
| Dans la fenêtre 'Grandeurs', saisir sur deux nouvelles lignes les expressions: |
We = intg(e*i*0.001,t)
Wm = 0.5*L*sqr(i*0.001),
| Ajouter éventuellement leur signification (commentaire de variable) sur une ligne supplémentaire en la faisant précéder d'un signe ': |
'We: énergie cédée par le générateur
'Wm: énergie magnétique stockée dans la bobine
NB: pour que la comparaison précédente ne soit pas une tautologie, il
faut évidemment remplacer L dans l'expression de Wm par sa valeur
numérique telle qu'elle est indiquée par le fabricant, et non pas par celle déduite de
la modélisation par la formule 
, ce qui reviendrait à intégrer ce qu'on vient de dériver!
| Revenir à la fenêtre 'Graphiques' en demandant les coordonnées:
|
On peut ainsi constater l'évolution symétrique des deux énergies étudiées (l'une est destinée à 'alimenter' l'autre.
VII "Graphe des paramètres"
On suppose dans ce paragraphe que les acquisitions réalisées dans chaque page l'ont été avec la même valeur de (R + r), mais avec des valeurs différentes de L qui sont parfaitement connues par étalonnage ou indications du constructeur. Il faut aussi que tau ait été déterminée préalablement dans chaque page, soit par modélisation, soit par une autre méthode (ex vu au paragraphe IV C 2: abscisse du point d'intersection de la tangente à l'origine à la courbe i(t) et de son asymptote; voir alors au paragraphe suivant comment créer une nouvelle grandeur dans l'onglet des paramètres). | Rentrer d'abord dans l'onglet 'Paramètres' de la fenêtre 'Grandeurs' les
valeurs du paramètre L: cliquer-G sur l'icône  (ou cliquer-D sur la fenêtre et choisir 'Créer une grandeur');
cocher 'Paramètre expérimental', et achever de renseigner la boîte de dialogue
'Création d'une grandeur': nom (L), unité (H). Remplir alors avec les
valeurs connues de L la nouvelle colonne qui est apparue |
| Ouvrir la fenêtre 'Graphe des paramètres' soit par clic-G sur son icône  située sous la barre de menus générale (juste
à droite de l'icône 'Statistiques'), soit par le menu 'Fenêtres' |
| En accédant à la boîte de dialogue 'Coordonnées' de cette fenêtre, choisir la représentation tau = f(L); constater qu'elle est linéaire |
| Demander de modéliser cette représentation: le coefficient directeur calculé
ainsi fournira une valeur expérimentale très précise de la résistance, suivant la
relation  . |
qui surgit à ce
moment permet de sélectionner seulement certaines pages parmi toutes celles du fichier.
(2) Il faudra
évidemment remplacer t par (t-t0) si la
courbe ne passe pas par l'origine
(3) accessible
seulement si ce choix a été coché dans l'onglet 'Modélisation' du menu 'Options'.
(4) Cette
icône "acquis. en tâche de fond" n'est active que si elle a été cochée dans
la boîte de dialogue "Option" / onglet "Menus…"
(5) Adapter
toutes les expressions dans le cas de l'ouverture du circuit (disparition progressive du
courant)
(6) l'aide sur
la syntaxe des fonction dans Regressi s'appelle en cliquant sur l'icône 
de la même fenêtre
(7) un nom de
variable dans Regressi peut comporter jusqu'à 8 caractères alphanumériques non
accentués
(8) avec
Windows 98, et pour des raisons difficilement compréhensibles, utiliser celle du pavé
numérique…